Trigonométrie sphérique et navigation

Mise en situation

Un navire quitte New York, aux États-Unis, en direction de Brest, en France. En supposant qu’il emprunte le chemin de plus courte distance, quel sera son cap de départ? S’il navigue à 15 nœuds, dans combien de temps arrivera-t-il à Brest? Les coordonnées des deux ports sont connus.

Cette question toute simple est au cœur des problèmes de navigation depuis des millénaires. Considérant deux points connus sur terre, quelle est la distance entre les deux et quel cap prendre pour se rendre d’un point à l’autre? En ces temps moderne, c’est très tentant d’obtenir la réponse avec Google. Mais encore, comment ce dernier obtient cette réponse?

Croyez le ou non, la méthode pour calculer le cap à prendre entre deux points connus fut d’abord résolue pour répondre à des besoins religieux. Les musulmans cherchaient à savoir comment s’orienter de manière faire leur prière face à la Mecque. Les mathématiciens ont trouvée une réponse … et elle fait aujourd’hui partie des équations servant à la navigation astronomique.

Ce qui est connu

Quatre informations essentielles sont connues dans ce problème:

• Le rayon de la terre, qui est de 6 378 kilomètres.
• La distance entre New York et le pôle nord: la latitude est mesurée à partir de l’équateur, l’angle que fait New York avec le pôle nord est donc 90° – [la latitude], soit: 90° - 40.730610° \approx 49.269°. On peut convertir cet angle en distance en mesurant la fraction assocée de la circonférence, ce qui donne 5495 kilomètres (2\pi\cdot6378\frac{49.269}{360}\approx 5495).
• Similairement, la distance entre Brest et le pôle nord est de 41.610° (ou 4632 km).
• L’écart angulaire, mesuré à partir du pôle nord, entre New York et Brest. Cela correspond à la différence de longitude entre les deux villes, soit LHA\approx 69.445°..

Ces informations permettent de construire un triangle sphérique dont les informations sont consignées dans l’image ci-dessous. Le côté « c », entre New York et le pôle nord, correspond aux 49.27° degrés calculés plus haut (arrondis). Le côté « b » correspond à la distance entre Brest et le Pôle Nord (41.61° arrondi). Finalement, l’écart de longitude est de 69.45° (arrondi) et correspond à l’angle entre les segments « c » et « b ».

On cherche deux informations à partir de ce triangle, soit le côté « a », qui est la distance inconnue entre New York et Brest, et l’angle entre les côtés « c » et « a », qui correspond à l’écart entre le nord vrai et le chemin vers Brest. Cet angle a bien sûr un nom plus connu, soit le cap à prendre.

Application des équations

Identification de la distance

L’équation de trigonométrie sphérique la plus importante est celle liant deux côtés et un angle au côté opposé:

\cos(a) = \cos(b)\cos(c) + \sin(b)\sin(c)\cos(LHA),

où a,b,c sont les côtés du triangle sphérique (en degrés) et LHA correspond à la différence de longitude entre les deux villes. Les fonctions \cos(\cdot) et \sin(\cdot) sont les fonctions trigonométriques usuelles. Ainsi, par simple substitution, on peut calculer la valeur de \cos(a):

\begin{align*}
\cos(a)&= \cos(49.269)\cos(41.610)+\sin(49.269)\sin(41.610)\cos(69.445)\\
&\approx 0.6645.
\end{align*}

En prenant la fonction inverse (\cos^{-1}(0.6645)), on peut alors déduire que a \approx 48.356°, soit 5383 kilomètres, ou encore 2906.5 milles nautiques.

En divisant cette distance (en milles nautiques) par la vitesse du navire (15 noeuds), on obtient 193.77 heures, ou encore 8 jours, 1 heure et des poussières.

Identification du Cap

Une fois le côté manquant « a » identifié, on peut appliquer la même équation pour identifier le cap. C’est cependant plus commode de modifier les lettres pour qu’elle corresponde à celle de l’image. En notant le cap \theta_Non a :

\cos(b) = \cos(a)\cos(c) + \sin(a)\sin(c)\cos(\theta_N),

Un peu de réorganisation algébrique pour isoler l’inconnu donne:

\begin{align*}
\cos(\theta_N) &= \frac{\cos(b) - \cos(a)\cos(c)}{\sin(a)\sin(c)},\\
&\approx \frac{\cos(41.610) - \cos(48.356)\cos(49.269)}{\sin(48.356)\sin(49.269)},\\
&\approx 0.5547.
\end{align*}

Conséquemment, le cap à prendre est donné par l’inverse du cosinus de cette valeur soit \cos^{-1}(0.5547)\approx 56.310°.

En démarrant notre navigation au cap 056°, on ira dans la direction de Brest. On doit cependant se rappeler que ce n’est que le cap de départ, car le chemin le plus court n’est pas à cap constant. Il faudrait donc ajuster le cap à chaque jour (ou à tout autre intervalle).

Conclusion

En quittant New York, il faudrait naviguer au Cap 056° (et faire des corrections par la suite). Après huit jours et 1 heure, un navire allant à 15 nœuds traverserait alors l’Atlantique et arriverait à Brest, en France.

Les plus malins auront remarqué que le chemin le plus court entre New York et Brest passe au dessus du Long Island (État de New York) et de l’État du Massachusetts. Il faudrait donc faire quelques modifications, peut-être avec une coordonnée suffisamment loin du port de New York, avant d’entreprendre une route à distance minimale. Comme de quoi ce n’est pas parce qu’une route est issue d’une équation qu’elle ne mérite pas une contre-vérification!

Outre cet ajustement pratique, l’exemple cherche surtout à illustrer une application de la trigonométrie sphérique aux calculs de routes maritimes. Pour deux coordonnées données on peut toujours calculer la distance et le cap à prendre. C’est tellement pratique que des sites en ligne incorporent maintenant ces calculs pour identifier les distances entre des villes quelconques.

Quel est le lien avec la navigation astronomique? Au lieu de prendre la coordonnée d’une ville, on prend plutôt la coordonnée du pied d’un astre, c’est-à-dire le point sur terre qui intersecte avec la ligne partant du centre de la terre et qui se rend à l’astre. De plus en navigation astronomique, on connaît la distance et la direction de l’astre à partir du bateau (mesuré à partir d’un sextant). Il faut alors faire le calcul inverse: considérant un cap et une distance à l’astre connus, quelle est la position du bateau. Il ne reste qu’à se procurer un sextant!

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