Est-ce qu’il est plus rapide de se rendre à destination en ligne droite, ou en avançant d’empannage en empannage? De toute évidence, la réponse dépend des vents et de la performance du bateau en fonction de son allure. Avec un peu de théorie, il est cependant possible de fournir une réponse plus utile à cette question qui est fréquente en pratique.
On m’a récemment demandé de convoyer un catamaran de l’Europe vers l’Amérique. Le bateau, parfaitement conçu pour les Caraïbes, n’a pas le gréement approprié pour du vent arrière. Ses haubans sont à 40 degrés à l’arrière du mât, signifiant que la grande voile ne peut être ouverte davantage sans causer un frottement trop important. Le bateau n’a pas non-plus de spinnaker, ni de tangon, des investissements qui n’ont un sens que si le bateau avait une autre fin que le vent de travers.
Une traversée de l’Atlantique donne amplement de temps pour réfléchir. Cet article est né du fait que le bateau avance beaucoup moins vite en vent arrière qu’au grand largue (+/- 120 degrés à partir de la proue, voir la Figure 1 en début de texte) et j’ai passé deux bonnes journées à me demander si le gain en vitesse au grand largue compensait pour la distance parcourue accrue. Ces deux journées m’ont permis d’accoucher d’une théorie fonctionnelle qui minimise le temps de déplacement.
Un tel objectif n’est peut-être pas désirable en toutes circonstances. Plusieurs sorties à la voile se font pour le plaisir (et j’apprécie ces voyages comme n’importe qui d’autre). Cela dit, pour une course, ou après 20 jours en mer où les journées se succèdent et se ressemblent, l’attrait de sauver quelques jours peut être important. Même pendant une navigation où le temps passé n’a pas d’importance, l’analyse ci-dessous vous fera peut-être apprendre – comme je l’ai appris – que l’allure la plus commode peut aussi être la plus rapide.
L’économie du temps
Le temps qu’on consacre à une régate, une croisière (ou à nos vies) est en quantité limitée. La discipline spécialisée dans la gestion des ressources rares (ou en quantité limitée) est l’économie. Au cœur de la discipline, il y a la notion d’évaluation d’arbitrages qu’impliquent différentes options. Ce faisant, il n’est peut-être pas surprenant qu’un économiste – votre humble serviteur – s’intéresse aux arbitrages entre différents chemins de navigation.
Connu depuis la Grèce antique, le chemin le plus court entre deux points sur terre est défini par un grand cercle qui passe par ces deux points. Le grand cercle est l’équivalent sphérique de la ligne droite. Quand la vitesse d’un moyen de transport ne dépend pas (significativement) du vent, les grands cercles sont également les chemins le plus rapides. Ce faisant, les grands cercles sont à la base des routes commerciales de longue distance pour les avions et pour les tankers à moteur.
Les choses sont bien sûr différentes pour un voilier. La vitesse dépend assurément de la direction du vent et de la configuration du gréement. Conséquemment, le chemin le plus court n’est pas nécessairement le plus rapide. Ce simple constat mène à la question qui motive ce texte, à savoir dans quelle circonstances un chemin plus long permet de réduire le temps total du trajet.
Pour comprendre l’arbitrage clé, on peut se référer à la Figure 2 ci-dessus. Un navigateur doit se rendre du point A au point B. Est-il préférable de prendre le chemin direct (la « ligne droite ») ou plutôt de passer par le point C en faisant un chemin plus long? Pour considérer la valeur de chacune des deux alternatives, trois facteurs clés sont à considérer.
D’abord et avant-tout, la déviation du chemin le plus court (le trajet A-B) doit se traduire par une augmentation de la vitesse du bateau. Si la vitesse du bateau n’augmente pas, il n’y a alors aucun gain possible à passer par le point C. C’est la première condition, très intuitive, pour envisager une route plus longue: il faut un gain de vitesse. Pour le reste de ce billet, je vais présumer que c’est le cas.
Le deuxième facteur est que l’augmentation de vitesse qui importe est celle qui est parallèle au chemin A-B. En déviant du chemin le plus court, la vitesse augmente également dans la direction perpendiculaire au chemin le plus court. Or, ce gain de vitesse ne permet pas d’arriver plus vite au point B, mais permet au contraire de s’en éloigner plus rapidement. Bref, seulement l’augmentation de vitesse parallèle est ce qui importe. C’est ce gain de vitesse qui peut faire en sorte de réduire le temps total de navigation.
Le troisième et dernier facteur est la distance additionnelle parcourue en changeant de cap. Cette distance accrue contribue bien sûr à rallonger le temps de navigation et constitue la « pénalité » de prendre une route plus longue.
Bref, la déviation du chemin le plus court en vaut la peine seulement si le bonus en vitesse parallèle est plus important que la pénalité en distance plus longue. Si c’est le cas, un chemin plus long prend moins de temps.
On peut répéter cet argument pour n’importe quelle déviation additionnelle. Tant que la déviation additionnelle implique un gain de vitesse plus important que la pénalité en distance, la déviation plus importante réduira le temps de navigation. En fait, à la déviation optimale, les deux facteurs – pénalité de distance et gain de vitesse – seront tels qu’ils seront égaux, signifiant que tout déviation additionnelle générerait une pénalité de distance plus grande qu’un gain de vitesse. L’égalité des deux facteurs correspond alors à la condition du chemin minimisant le temps total.
À la prochaine section, je vais montrer que cette condition prend la forme mathématique:
\frac{\Delta V(\theta)}{V(\theta)} = \tan(\theta),où \theta est l’angle de déviation du chemin le plus court, V(\theta) est la vitesse du voilier en fonction de cette déviation (la courbe polaire de la Figure 1) et \Delta V(\theta) est la différence de vitesse acquise par la déviation. L’expression « \tan(\theta) » n’est rien d’autre que la bonne vieille fonction trigonométrique exprimant la tangente de l’angle.
Le côté gauche de cette expression mesure le gain en vitesse de la déviation, exprimé en pourcentage. Le côté droit mesure plutôt la pénalité causée par une distance accrue. L’angle qui fait en sorte que les deux côtés sont égaux correspond alors à la déviation optimale.
Cette expression est parfaitement adaptée pour considérer une déviation par rapport au vent arrière. Elle provient cependant d’une simplification propre à cette allure. Pour une expression qui fonctionne à toutes les allures, davantage de mathématiques sont requis.
Et maintenant, des maths
Un peu de trigonométrie et de calcul différentiel est requis pour comprendre cette section. Si vous n’êtes pas confortable avec les mathématiques, vous pouvez lire la section « application pratique » plus bas. En revanche, vous devrez accepter les équations sans comprendre leur origine.
Pour les autres, il est payant de s’approprier la notation additionnelle de la Figure 2. L’angle \theta_1 correspond à la déviation du cap original et l’angle \theta_2 correspond à l’angle de retour vers le point B. Au besoin, on peut s’imaginer qu’on navigue au cap défini par la déviation \theta_1 jusqu’à temps que le point B donne un gisement d’angle \theta_2.
Pour fin de discussion, on notera D la distance à parcourir entre le point A et le point B. La distance parallèle parcourue sur le segment de route A-C est noté d_1 et ce faisant, la distance parallèle restante est D-d_1. On note toujours la vitesse du bateau en fonction de l’angle par V(\theta), soit l’équivalent théorique de la courbe polaire de la Figure 1. Dans cette section, on présume que V(\theta) est strictement croissante sur le domaine [0, 90°[, mais cette hypothèse sera retirée dans la section d’application pratique. (Cette hypothèse garantit une solution unique. Si on la retire, plusieurs solutions peuvent exister.)
Avec cette notation, on peut noter le temps requis pour parcourir la distance A-B en passant par le chemin A-C-B:
T(\theta_1, \theta_2) = \frac{d_1}{V(\theta_1)\cos(\theta_1)}+\frac{D-d_1}{V(\theta_2)\cos(\theta_2)}.cette expression n’est rien d’autre que la bonne vieille formule « distance divisée par la vitesse » pour chacun des deux segments de la route. Le premier terme désigne le temps sur le segment A-C et le deuxième terme le temps sur le segment C-B.
Une identité géométrique qui découle de ce problème est que le trait pointillé de la Figure 2 peut s’exprimer à la fois à partir de l’angle \theta_1 et l’angle \theta_2. De ce constat, on obtient l’égalité:
d_1\tan(\theta_1) = (D - d_1) \tan(\theta_2).
Cette expression d’apparence complexe codifie une évidence: la distance perpendiculaire au trajet A-B est la même selon qu’on la mesure à partir du premier segment ou selon le second segment. Ce résultat permet de simplifier l’expression de temps parcouru à:
T(\theta_1, \theta_2) = \frac{D}{\tan(\theta_1)+\tan(\theta_2)}\left[\frac{\tan(\theta_1)}{V(\theta_1)\cos(\theta_1)}+\frac{\tan(\theta_2)}{V(\theta_2)\cos(\theta_2)}\right],qui est une fonction des deux angles.
Le cas du vent arrière
Si la fonction de vitesse de vent en fonction de l’angle est symétrique (si V(\theta) = V(-\theta)), l’expression T(\theta_1, \theta_2) se simplifie considérablement. Cette restriction est plausible dans le cas du vent arrière, signifiant alors qu’une déviation par tribord induit le même gain de vitesse qu’une déviation équivalente par babord.
Si tel est le cas, la fonction T(\theta_1, \theta_2) devient également symétrique, ce qui implique que la solution efficiente sera telle que \theta_1 = \theta_2. L’intuition est la suivante: si les deux angles n’étaient pas les mêmes alors que les vitesses sont symétriques, cela signifierait qu’on pourrait raccourcir le segment le plus long tout en augmentant la vitesse sur le segment le plus court, réduisant nécessairement le temps total. Ce faisant, une solution possible où les angles ne sont pas identiques ne peut minimiser le temps total.
En somme, quand on est en vent arrière, les deux angles \theta_1 et \theta_2 sont identiques et la formule de temps se simplifie à:
T(\theta_1, \theta_1) = \frac{D}{V(\theta_1)cos(\theta_1)}.C’est une fonction univariée qu’on peut minimiser à l’aide du calcul différentiel. Sa condition de premier ordre est donnée par:
0 = \frac{D}{V(\theta_1)\cos(\theta_1)}\left[\frac{V'(\theta_1)\cos(\theta_1)-V(\theta_1)\sin(\theta_1)}{V(\theta_1)\cos(\theta_1)}\right].On notera que cette expression ne peut-être égale à zéro que si le numérateur compris entre les crochets est lui-même est égal à zéro. Le numérateur exprime mathématiquement les deux conditions discutées en début de texte: le premier terme (V'(\theta_1)\cos(\theta_1)) mesure le gain de vitesse parallèle au trajet original alors que le second terme (V(\theta_1)\sin(\theta_1)) mesure la pénalité induite par la distance accrue. En égalisant les deux termes, on obtient:
\frac{V'(\theta_1)}{V(\theta_1)} = \tan(\theta_1),soit l’expression en début de texte.
Cas général à n’importe quelle allure
Dans les autres cas où le vent ne vient pas de l’arrière, la fonction V(\theta) ne peut pas être symétrique. Dans un tel cas, l’équation de temps écoulé demeure une expression à deux variables. Son optimisation requiert l’usage du calcul différentiel multivarié et mène aux conditions de premier ordre:
\frac{1}{\tan(\theta_1) + \tan(\theta_2)}\frac{1}{\cos^2(\theta_1)}\left[\frac{V(\theta_2)\cos(\theta_2)-V(\theta_1)\cos(\theta_1)}{V(\theta_2)\cos(\theta_2)}\right]=\frac{V'(\theta_1)}{V(\theta_1)}-\tan(\theta_1),\\
\frac{1}{\tan(\theta_1) + \tan(\theta_2)}\frac{1}{\cos^2(\theta_2)}\left[\frac{V(\theta_2)\cos(\theta_2)-V(\theta_1)\cos(\theta_1)}{V(\theta_2)\cos(\theta_2)}\right]=\frac{V'(\theta_2)}{V(\theta_2)}-\tan(\theta_2),Les deux équations ont la même structure, si bien qu’on peut se concentrer sur la première pour comprendre les deux. Le côté droit est connu et ressemble à l’arbitrage usuel que nous avons vu dans le cas où la fonction est symétrique: c’est l’évaluation du gain en vitesse par rapport à la pénalité en distance accrue. Dans le cas symétrique, ce sont les seuls arbitrages. Cela dit, dans le cas général, il y a un arbitrage additionnel à considérer, soit le fait que la modification d’un angle entraîne une augmentation du temps passé sur un segment par rapport à l’autre. Dans le cas de la première équation, l’augmentation de \theta_1 mène à une diminution du temps passé sur le segment B-C et une augmentation du temps passé sur le segment A-B. Comme la vitesse n’est pas la même sur les deux segments, il faut tenir compte de la différence de temps écoulé qui est induit par ce changement de vitesse. Cette portion de la distance parcourue est proportionnelle à 1/(\tan(\theta_1) + \tan(\theta_2))\frac{1}{\cos^2(\theta_2)}, ce qui explique pourquoi ce terme prémultiplie la différence de temps parcourue du côté droit.
Cette substitution peut augmenter ou diminuer le temps total, selon les vitesses parallèles au segment A-B. Si la vitesse est plus grande sur le premier segment, alors le terme de gauche de la première équation est négatif, si bien que l’angle de déviation doit être plus grand du côté droit, réduisant alors le temps total.
Au contraire, si cette vitesse est plus petite, l’angle de déviation est également plus petit. En somme, ces expressions s’interprètent en termes de gains en vitesse versus la pénalité en distance. La seule différence est que parce que les vitesses ne sont pas les mêmes pour des angles identiques, on doit maintenant tenir compte des vitesses substituées sur les deux segments de route.
On peut comprendre ces deux expressions d’une autre manière pour retrouver une équation similaire à celle arbitrant les gains de vitesse et les pénalités. Si on divise la première expression par la seconde, un peu d’algèbre permet de trouver:
\cos^2(\theta_1)\tan(\theta_1) + \cos^2(\theta_2)\tan(\theta_2) = \cos^2(\theta_1)\frac{V'(\theta_1)}{V(\theta_1)} + \cos^2(\theta_2)\frac{V'(\theta_2)}{V(\theta_2)}. Cette expression ressemble drôlement à celle que nous avons obtenue dans le cas du vent arrière. Le côté gauche comprend les tangentes de chaque angle alors que du côté droit, on voit les améliorations de vitesse (en pourcentage). La différence importante est que chaque gain ou pénalité est pondéré par (le carré de) la longueur de chaque segment. En d’autres termes, on mesure toujours les gains de vitesse et les pénalités en distance, mais on les pondère pour tenir compte de la distance sur laquelle ils se produisent.
En somme, le chemin qui minimise le temps parcouru est tel que les gains temporels marginaux (pondérés) sont égaux aux pertes marginales de distance (pondérées).
Une application pratique
Dire au barreur de choisir la déviation pour « égaliser les gains et les pertes marginales pondérées » est une recette pour recevoir des insultes. La prochaine étape est de rendre ces formules plus pratiques pour fin d’usage. En situation de vent arrière, la condition d’optimisation de vitesse peut s’approximer par:
\frac{\Delta V(\theta)}{V(\theta)}\approx 0.0174\theta.Le côté gauche mesure l’augmentation de vitesse en pourcentage alors que le côté droit est une approximation de la fonction de tangente pour de petits angles. Ce que l’approximation montre, c’est que si l’augmentation de la déviation de un degré génère plus de 1.74% d’augmentation de vitesse, alors la déviation est payante: le gain de vitesse est alors plus grand que la perte en distance. Cette expression est plus facile à évaluer in situ et fonctionne bien pour de petits angles.
Pour de plus grands angles, il faut se préparer d’avance. La plupart des courbes polaires de vitesse de bateau ne sont pas toujours croissantes pour des déviation comprises entre 0 et 90 degrés. Cela dit, le principe général demeure: tant que le gain marginal à la déviation est plus grand que la perte en temps, il est payant de dévier du chemin retenu. Il faut donc reprendre l’analyse à l’aide d’un chiffrier et tenir le compte pour identifier l’angle minimisant le temps de parcours.
Pour le bateau que je suis responsable de convoyer, le graphique ci-dessous montre le temps requis par « mille nautique parallèle » pour différentes allures, en fonction de la courbe polaire illustrée en début de ce billet. La courbe polaire fut ajustée pour refléter la performance réelle du bateau (en substance, la courbe de vent de 8 nœuds reflète mieux la performance du bateau dans des vents de 15 nœuds).
Le sweet spot est à 26 degrés d’angle de déviation (disons 30 degrés) par rapport au vent arrière, soit environ à 150 degrés d’angle par rapport au vent. C’est aussi l’angle où l’équation centrale de ce texte est vérifiée.
À cette allure, le gain en temps est un peu moins d’une minute par mille nautique par rapport au vent arrière. Ce n’est pas énorme, mais sur 2600 milles nautiques, c’est à peu près une journée d’économie. Une journée de moins pour un simple ajustement de cap!
Conclusion
On peut se demander comment l’analyse ci-dessus est connectée aux logiciels de calcul de trajectoire optimale tels que PredictWind ou WindFinder. Ces logiciels incorporent la mème logique d’optimisation, avec quelques adaptations. D’abord, la courbe polaire devient une fonction du temps (V(\theta, t)) pour refléter l’évolution des conditions météo. Ensuite, ces logiciels incorporent la possibilité de faire plusieurs déviations une à la suite de l’autre, générant des courbes de toute nature, mais optimisant le temps de navigation. Ces ajouts conceptuels sont mieux servis par des mathématiques plus avancés telles que les équations d’Euleur-Lagrange ou, si on doit se rendre à la programmation, à l’algorithme de Dijkstra. Ces mathématiques sont calculés en une fraction de seconde par des ordinateurs modernes.
Bien que plus avancés, ils incorporent la même logique pour l’estimation de trajectoires optimales, à savoir l’évaluation du gain de vitesse par rapport à la pénalité en distance. Les capitaines de régates ne font probablement pas de trigonométrie en temps réel, mais devraient certainement incorporer ces notions pendant une course. Autrement, ils négligent des concepts importants qui pourraient les aider à gagner.
Pour les personnes qui sont plus à faire de longs convoyages, la leçon à retenir est que l’allure de navigation qui est la plus rapide peut également être une allure confortable (ça dépend de votre courbe!). Sur un bateau conçu pour le travers, le grand largue est certainement plus facile à tenir qu’un vent arrière. Paradoxalement, c’est bien parce que j’avais du temps à perdre que j’ai identifié l’approche qui prenait le moins de temps. Comme le chante si bien Harmonium, il y a peut-être là une plus grande leçon de vie à retenir.
