Deux équations de navigation astronomique

Ce texte s’adresse aux quelques personnes qui ont des bases en trigonométrie et qui veulent faire de la navigation astronomique. Il n’est d’aucune utilité pour les autres.

Introduction

La navigation astronomique consiste à utiliser la position des planètes, de la lune ou des étoiles pour déterminer la position de son bateau. C’est une technique qui est utile pour la navigation hauturière, mais qui est moins employée depuis l’avènement du GPS. Sa maîtrise demeure cependant une obligation pour enlever des restrictions de distance sur un titre de compétence commercial. L’idée est de pouvoir positionner un navire même si les systèmes électroniques font défaut.

La technique la plus employée pour convertir un relevé au sextant en position est la méthode Marcq Saint-Hilaire. À sa plus simple expression, la méthode permet de convertir un relevé au sextant en droite de position. Avec plus d’un relevé, on peut ainsi obtenir un point de relèvement (image ci-dessus). Pour comprendre la méthode en détail, il faut aller prendre un cours.

Les tables de conversion

L’obtention d’une droite de position passe par des calculs basés sur la position des astres au moment du relevé. La position des astres mesurés permet d’établir, à partir d’un relevé au sextant, un cercle de position sur la terre (image ci-dessous). La position des astres à chaque instant d’une année donnée est consignée dans les tables éphémérides.

La trigonométrie sphérique permet de convertir un cercle de position sur une sphère en droite de position sur une carte (image plus haut). Cette conversion passe par la linéarisation d’un arc de cercle, approximé à sa tangeante. Les cercles de position sont tellement grands que l’erreur de linéarisation est sans importance pour fins de calculs.

Les résultats de calculs de trigonométrie sphérique sont en pratique consignés dans un ouvrage, soit les tables de conversion (Sight Reduction Tables). Ces tables fournissent une hauteur d’astre théorique (notée H_c) et la direction de l’astre sur une carte marine (notée Z_n).

La plupart des cours de navigation emploient les tables de conversion pour deux raisons. D’une part, elle ne requiert que des additions et des soustractions. Conséquemment, elle est plus « accessible » à ceux et celles qui ne maîtrisent pas la trigonométrie. D’autre part, elle ne requiert aucun appareil électronique, signifiant que si tout les instruments à bord sont brisés, on peut toujours établir sa position.

Cela dit, l’approche « papier » demande d’apporter avec soit les tables de conversion. C’est un ouvrage de 500 pages, rempli que de colonnes de nombres (extrait ci-dessous). Ces tables obligent à faire des calculs intermédiaires pout arriver à des degrés entiers. Cette obligation découle du volume: une table comprenant une précison aux dixièmes de degrés ferait passer les tables à des dizaines de milliers de pages. Et parce que c’est des ouvrages remplis de tableaux de nombres, on peut se tromper de ligne, de colonnes ou encore les reproduire avec des erreurs. Bref, la méthode « papier » est longue, propre à faire des erreurs et fait beaucoup de contorsions pour éviter la trigonométrie.

Deux formules

Si on connaît la trigonométrie et qu’on est prêt à tolérer une calculatrice à bord (!), on peut éliminer ces 500 pages. On peut également faire ces calculs sans corrections intermédiaires, car les formules acceptent autant de précision que désiré, sans se restreindre aux degrés entiers. On s’évite également les erreurs propres à la lecture de tableaux. Bref, l’entièreté des tables se résument en deux formules:

\begin{align}
H_c&=\sin^{-1}\left[\sin(D)\sin(\lambda^a)+\cos(\lambda^a)\cos(D)\cos(LHA)\right],\\
Z &=\cos^{-1}\left[\frac{ \sin(D) - \sin(\lambda^a)\sin(H_c)}{\cos(\lambda^a)\cos(H_c)}\right],
\end{align}

où D est la déclinaison de l’astre, \lambda^a est notre latitude estimée et LHA est l’écart horaire (+/- l’écart de longitude) entre notre position estimée et l’astre (Local Hour Angle). Ces formules se dérivent à partir de la construction de triangles sphériques à la surface de la terre (et présument qu’on travaille en degrés plutôt qu’en radians).

Ces deux formules ne sont pas exactement un secret d’état. C’est possible de les dériver à la main… et elles se retrouvent aux pages 7 et 8 des tables de conversion (image ci-dessous; asin, acos désignent l’inverse des fonctions sinus et cosinus).

Ces fonctions prennent deux lignes dans un aide mémoire de navigation, acceptent des arguments avec des décimales, et si on est un peu habitué avec sa calculatrice, réduit le risque de faire une erreur. Dans un contexte d’apprentissage, on peut aussi penser à ces expressions comme un moyen de vérification de ses réponses. Et si on y pense, on comprendra que les tables sont en fait générées à partir de ces formules.

Conclusion

La plupart des cours de navigation destinés aux marins emploient les tables et présument que les élèves ont peu de connaissances en mathématiques. Les deux expressions ci-dessus ne seront probablement pas couvertes. Or, si vous avez un modicum de compréhension de la trigonométrie, elles vous sauveront du temps, soit en vous permetant de vérifier vos calculs, soit en vous évitant de fouiller les tables. On a ainsi plus de temps pour regarder les étoiles.

Références

Wikipedia (s.d.). Intercept Method, document récupéré en ligne en mai 2024 à partir de cette adresse.

TheNauticalAlmanach.com (2024-a). Nautical Almanach 2024, document récupéré en ligne en mai 2024 à partir de cette adresse.

________________________ (2024-b). Pub. No. 249 Epoc 2025, document récupéré en ligne en mai 2024 à partir de cette adresse.